本文提出了一种椭球体块体撞击可变形地表的先进流变模型，其中引入了块体在撞击时偏心和方向的影响。这使我们能够评估冲击穿透力、恢复系数和块体轨迹。考虑不同的块体长宽比、冲击角和冲击时的初始块体取向，进行了参数化分析。结果包括恢复系数、侵彻和力时程、最大侵彻深度、最大力和旋转/总动力学比。根据所使用的模型参数，与沿小轴的冲击相比，沿大轴的冲击具有更大的穿透(范围从3.3到50%)，更短的冲击持续时间(约50%)和更大的垂直力(范围从0.3到60%)的特点。相反，撞击角度强烈影响最大穿透和力值，并显著增加撞击时的旋转。类似地，正常恢复系数严重依赖于冲击角，其变化幅度超过两个数量级。提出了由法向表观恢复系数和切向表观恢复系数以及旋转动能与总动能之比计算能量恢复系数的数学表达式。这克服了当块体旋转发生变化时经典恢复系数大于1的缺点，允许我们将恢复值的系数括号起来，以支持和改进经典岩崩模拟，同时突出其固有的局限性。最后，通过在HyStone模拟代码中实现该方法，分析了块体几何形状和初始角速度对岩崩模拟的影响。各弹道最大高度的模拟频率服从指数分布，而正态和切向表观恢复系数的模拟频率服从正态分布。

　　落石开始于一个或多个块体从源区释放(剥离阶段)，随后在重力作用下进行下坡运动(传播阶段)(Varnes和Cruden 1996)，直到它们停止(沉积阶段)。Umili et al.(2023)观察到，岩体的地质条件决定了块体的几何形状和体积统计。

　　在过渡区内的块体运动的特点是连续的弹道和弹跳运动，导致块体与地面之间的一系列相互作用。

　　为了减轻岩崩风险，过去已经设想了许多防御系统，它们的设计需要定义运动学和动力学数量，例如岩崩质量体积，水平和垂直移动距离，下落高度，块轨迹以及冲击地面和防御结构时的能量水平和穿透(Chau等人，2002;Zhang et al. 2017;Lambert et al. 2021)。

　　上述数量通常是通过基于计算机的模拟来评估的，为此，许多基于集中质量(质点)方法、刚体方法(Leine et al. 2014)的代码已经实现，最后，采用单个或多粒子块的离散单元建模方法(Shen et al. 2020)。除Leine et al.(2014)外，其余模型在计算运动时一般对块几何形状引入双重描述:在自由飞行时，块几何形状总结为惯性矩，而在撞击时，块被假定为刚性球体或椭球体(Bozzolo and Pamini 1986;Azzoni et al. 1995)与地面呈点状接触。

　　自由飞行、滑动和旋转被很好地理解和充分地模拟，而对表面土壤/岩石材料的影响(Chau等人，2002;Bourrier et al. 2011)和保护结构(Lambert and Bourrier 2013;Zhang et al. 2017)仍然是一个重要的研究课题。

　　模拟冲击过程最常用的策略包括将块体视为一个质点，并通过恢复系数(即冲击前和冲击后速度分量之间的比率，Giani等人，2004;Spadari et al. 2012;Pfeiffer and Bowen 1989;Gischig et al. 2015;Azzoni等，1995;Chau et al. 2002;Asteriou et al. 2012;Leine et al. 2014)。恢复系数是包含冲击过程所有特征的整体度量，如块体和基底变形、接触点滑动、线性动量和旋转动量之间的变化。因此，所有这些信息在这种方法中都丢失了。因此，对冲击过程的研究可以简化为对适当的恢复系数值的评价。有人认为，这些系数仅取决于影响材料(块体和衬底)，导致计算错误，因为块体响应是由许多因素控制的，正如实验证据(例如Chau et al. 2002)所示。Habib(1977)引入了一个由参数控制的比例因子，以区分低能量含量的几乎弹性撞击和高撞击速度的非弹性撞击(Asteriou et al. 2012)。基于这一策略，Pfeiffer和Bowen(1989)提出了经验关系，通过依赖于块体速度和质量的因素来修正恢复系数。

　　由于恢复系数代表了在冲击过程中耗散能量的度量，较小的值对应于较低的输出机械能(即较大的耗散)，它们应小于或等于1(没有机械能损失)。

　　Spadari et al.(2012)已经观察到，当考虑转动自由度时，以块体质心为参考评估的表观恢复系数可以大于1。这一结果显然与热力学第二原理相矛盾，可以通过考虑块体旋转来解释(Leine et al. 2014)。为了解决这一问题，一些作者根据恢复系数计算中涉及速度分量的位置，引入了接触系数和视恢复系数的区别。Vijayakumar等人(2012)提出了表观恢复系数和接触恢复系数之间的数学关系，其中块体几何形状的作用是明显的。

　　评估恢复系数的经验关系只考虑速度效应，而块体大小、形状和初始冲击形态没有考虑在内，因为它们的经验性质没有考虑到冲击的物理性质。Bozzolo和Pamini(1986)通过考虑椭球体块与坡面点状接触处的旋转碰撞，引入了形状效应。Yan等人(2020)提出了一种三维方法，该方法中块具有随机生成的复杂多面体几何形状，并且满足球度和凹凸度两个要求。接触力通过双线性函数计算，其参数不依赖于块的几何形状、方向和碰撞速度。Torsello等人(2021)通过使用RAMMS岩石构建工具和ROCKFALL代码模拟生成的块体，模拟了具有多面体几何形状的块体，而Bourrier和Acary(2022)通过考虑自由落体和滚动阶段的块体几何形状来研究传播。

　　离散元法(DEM)和非光滑接触动力学(NSCD)可以很容易地解释这些因素(Bourrier等人，2008,2010;Shen et al. 2020)。这些模拟可以提供关于撞击物理的信息，但它们仍然是计算消耗，因此，它们不能用于需要数千个块模拟的多重(确定性和随机)岩崩模拟。Chang et al.(2011)也使用该方法研究了块形状对其旋转、轨迹和保护结构设计中使用的主要变量的影响，Garcia et al.(2022)使用具有球多面体块形状的DEM来重现原位实验测试。

　　另一种方法是利用流变模型来描述冲击过程，通过简单本构模型的组合，在初始条件和模型参数设置后，通过数值积分获得恢复速度分量和恢复系数(Dattola et al. 2021)。di Prisco和Vecchiotti(2006, 2010)提出了一种基于宏观单元等效基础的方法来模拟块体与可变形地表之间的相互作用。宏观单元本构关系基于粘塑性模型和弹性阻尼单元，分别代表近场和深场基底力学行为。假设该块是球形的，具有抑制旋转，因此考虑了两个自由度，法向和切向位移。由于流变学方法允许通过改进相应的本构方程来重现上述所有依赖关系，Dattola等人(2021)采用了这一策略，以考虑具有多边形基底的棱柱体块的旋转分量。

　　本文对最后一种先进模型进行了改进，目的如下:(1)引入了一种先进的宏观单元模型，其中块体具有椭球形状并具有额外的旋转自由度;(ii)研究椭球形状，特别是力偏心对块体旋转行为的影响;(iii)分析恢复系数的依赖关系，并通过考虑旋转能量和旋转力矩与平移力矩之间的转换，提出恢复系数方法的概化;(4)研究块体几何形状对岩崩位移的影响。

　　本文组织如下:第二节给出椭球形状模型、恢复系数的概化以及Vijayakumar et al.(2012)关于有效恢复系数和表观恢复系数的表达式。第三部分给出了块体穿透(位移)、冲击力、旋转和恢复系数的数值结果。最后是讨论和结论部分。

　　本文提出的模型扩展了Dattola等人(2021)针对棱柱体块提出的模型，在棱柱体块中，由于对称性，偏心不起作用，因此，旋转速度的变化与最终块轨迹的关系较小。

　　在局部参考系中建立数学表达式和未知向量，其中考虑法向和切向(分别与斜率垂直和平行)(图1)。

　　图1

　　

　　采用法向轴和切向轴参照系分析块体对倾斜边坡的冲击。给出了碰撞角和恢复角，以及碰撞和弹跳的平动速度和角速度。碰撞点(I)和弹跳点(B)也被显示出来

　　在碰撞过程中，块体和土壤相互作用，交换接触力和接触动量，施加在接触面的重心，在碰撞过程中演变。土壤和块体之间的相互作用是通过等效基础来模拟的，等效基础的大小是块体渗透和旋转以及块体形状的函数。因此，在冲击过程中评估块体运动和作用于土壤的力的问题分为两个子系统:(i)刚性块体运动和(ii)等效基础及其本构关系。

　　用三个自由度来描述物体的运动，假定物体重心的法向位移和切向位移以及围绕物体的顺时针方向旋转为正。考虑接触力和块体自重，块体服从线性动量平衡方程。线性动量方程与Dattola et al.(2021)相同，考虑到新的块体形状，更新了与运动平面正交轴并经过重心的质量力矩和惯性力矩。

　　本构宏观单元关系基于Dattola等人(2021)提出的流变模型(正常冲击情况见图2)，更新了每个单元的本构方程，以考虑椭球形状，而不改变块尺寸之外的模型参数。在附录B和C中简要地给出了更新后的方程。

　　图2

　　

　　正常冲击情况下的流变模型

　　当等效基础失去黏附与倾倒之间至少满足其中一个条件时，认为砌块与土的冲击结束。在前者情况下，砌块脱离地面飞行，而等效基础的倾倒发生在砌块与地面接触时，接触力的合力位于等效基础的一侧顶点(即等效基础的向下顶点)，这也是瞬时旋转点，砌块开始滚动。

　　适用于砌块的线性力矩平衡方程与配伍方程和本构方程构成了在砌块碰撞过程中有唯一解的微分方程组。该系统的解提供了所有接触变量的演化，如块位移、速度、加速度、接触力和能量。

　　许多作者(例如，Bozzolo和Pamini 1986;Cancelli and Crosta 1994;Chau等人(2002)证明，通过控制弹跳速度和块角速度，块的几何形状会影响冲击过程和恢复系数。在提出的流变本构方程中，通过块位移分量的三个函数综合考虑了几何形状:等效基础的切向和面外尺寸，接触力分量的法向和切向臂，分别(见D.4附录D中的图17)，其中和分别为块重心的法向位移和块旋转。

　　在附录中，上述函数从球面块(di Prisco and Vecchiotti 2006)、棱柱块和圆柱块(Dattola et al. 2021)的函数开始推导椭球块(图3)。为简单起见，假设与椭球体长轴正交的截面为圆形，半径为(图3)。块形状用纵横比来描述(即表示球形块)。

　　图3

　　

　　椭球块在4个不同阶段的碰撞演化:a在撞击开始时的撞击速度和撞击角度对初始块方向的影响;B块体侵彻阶段具有向下定向的法向速度分量和内块体旋转;C为法向速度分量向上且内块旋转的块体反弹阶段，d为恢复速度、恢复角度和恢复块体方向的退出阶段(即失去接触)

　　原则上，该模型可以考虑与块体质量值和面外伪基础尺寸相关的面外尺寸对块体运动和恢复系数的影响。然而，为了简单起见，下面不讨论这个因素，因为正如图3中已经阐明的那样，作者只考虑旋转椭球体(即具有圆形截面)。

　　块的初始方向()是长半轴与法线方向之间的夹角。

　　在本节中，导出了表观法向恢复和切向恢复与能量恢复系数之间的数学关系。得到的表达式还突出了撞击角、撞击前后的旋转动能比所起的作用。

　　让我们用以下假设来考虑撞击:(i)块体撞击具有固定倾角的平面基底;(ii)不耗散是由于空气阻力(即空气阻力被认为是可以忽略的，如果在冲击过程中耗散的能量相比)和(iii)不同于Bozzolo和Pamini(1986)，其中瞬时旋转中心与接触点重合，我们不强加瞬时旋转中心的位置，(iv)块体是刚性的，因此不允许块体形状和/或大小的变化，最后，(v)不碎裂，没有考虑剥落和碎裂，这意味着块体质量和惯性矩在冲击过程中没有变化。在撞击过程中，块体的总动能由于耗散而减少。如果假设块体重心的z坐标值在撞击前后不发生变化(即块体势能不发生变化)，则块体机械能的变化仅是由于动能的变化。由于块体旋转是允许的，动能是平移动能和旋转动能的总和。此外，在碰撞过程中，块的质量中心在垂直平面上移动，那么可以将速度矢量分成法向()和切向()分量，反过来，通过使用表观法向(和切向()表观恢复系数，速度分量可以分别写成法向和切向分量(碰撞前)。平移动能可以写成:

　　(1)

　　式中为平动动能的初值，为冲击角(即初速度矢量与地面法线的夹角)(图3b)。撞击开始和结束时的旋转动能比为:

　　（2）

　　和

　　（3）

　　式中，分别为初始旋转动能和初始动能。动能为:

　　（4）

　　，因此，得到能量恢复系数(Heidenreich 2004)的公式如下:

　　（5）

　　当同时考虑块体形状和大小时，上述恢复系数的定义是不充分的。事实上，如果恢复系数指的是质心处的速度分量，它们就包含了地面材料耗散和块体旋转效应。因此，Vijayakumar et al.(2012)在基于刚体方法的分析中，区分了有效法向和视法向恢复系数。第一个是通过使用接触点的法向速度分量来定义的，而第二个是在块的重心处定义的。对于椭圆块体，在瞬时冲击、刚性块体和刚性冲击材料的假设下，作者发现表观恢复系数由下式给出:

　　（6）

　　为接触恢复系数。在该公式中，几何效应包括惯性矩、水平臂上的初始块体构型和比例上的块体角速度。

　　Vijayakumar et al.(2012)利用上述表达式证明:

　　(i)

　　对于球块(作为一种特殊的椭球体的公转)，和是重合的;

　　(2)

　　当接触恢复系数较低时，增大形状比，表观恢复系数可能为负(图8);

　　(3)

　　随着初始转速的增大，表观恢复系数增大，当正常恢复系数较大时，表观恢复系数可大于1。

　　摘要

　　突出了

　　1 介绍

　　2 模型

　　3.参数化分析

　　4 讨论

　　5 结论

　　数据可用性

　　参考文献

　　致谢

　　作者信息

　　道德声明

　　附录

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　　块形状在影响撞击和弹跳中的作用(Bozzolo and Pamini 1986;Azzoni等，1995;Vijayakumar et al. 2012;Leine et al. 2014;Glover 2015)在科学文献中得到了广泛认可。正如Yan et al.(2018)所述，由于难以研究不规则形状、岩性和岩体细分，通常忽略了块体形状和方向的影响(Fityus et al. 2013)。块体形状影响冲击力、侵彻深度、法向和切向恢复系数，从而影响冲击后的块体速度。反过来，这些是模拟块体轨迹的基础，因此，当使用基于恢复系数的模型时，可以定位和设计正确的保护结构，并准备危险图。在直接撞击结构或块体与结构之间的缓冲层时，接触力及其冲击时的最大值是保护结构设计的基础。Yan等人(2018)通过有限元方法(LS-DYNA代码)研究了几何形状对接触力的影响，其中启用了接触选项来研究混凝土板与椭球体块之间的相互作用。块形状通过球度指数来描述，定义为:

　　（8）

　　可以与我们的结果进行比较。Yan et al.(2018)计算了三种块体方向和不同冲击速度下，但对于相同块体质量的冲击力演化。他们发现，减小(即从球形块变为椭球体块)或相应地增加，会导致最大冲击力的减小。我们对所有撞击的倾斜度和数值都证实了这一结果，尽管撞击的材料是不同的(图6,7b)。Shen等人(2019,2020)对由一团粒子组成的椭球形和不规则形状的块进行了DEM模拟，这些块影响由与块相同的粒子组成的水平层。他们证实了增加数值和不同下落高度(即速度)时最大冲击力的减小，与我们的结果一致(图5b)。

　　就块体穿透而言，Shen等人(2019)证明了其增加。我们对具有顶点的垂直撞击(Dattola et al. 2021)、倾斜撞击(图7a)和垂直撞击(图8c)以及不同方向的椭球体块的模拟(图6a)证实了这一点。因此，我们的结果允许对影响进行更一般的描述，并且可以肯定地支持对策的设计。

　　如上所述，在许多分析和建模规范中仍然采用基于恢复系数的建模。实验和现场结果表明，当块体速度矢量与地表法向夹角(即冲击角的互补角)很小时，法向恢复系数可以大于1。这种效果归因于块体旋转，与碰撞时的相应速度相比，正常恢复速度分量增加了。由于旋转的量是由正常接触力组件的臂控制的，因此拉长的块显着显示出这种效果。一般来说，所提出的解决方案是从一个点状接触的假设开始的，块体围绕着它旋转(Bozzolo和Pamini 1986;Azzoni and De Freitas 1995;Azzoni等，1995;格洛弗2015)。通常，恢复系数可以通过采用不同的方法来计算，其中最流行的是刚体冲击力学。根据它，物体和接触平面都是刚性的，并且在接触点附近区域发生的变形由虚拟单元考虑，虚拟单元虚拟地介入块和接触平面之间(Ashayer 2007)。这些方程已经用脉冲项表示，并带有解决问题所需的附加假设(见Bozzolo和Pamini 1986;Descoeudres and Zimmermann 1987;Azzoni et al. 1995)。与我们的方法不同，没有提出描述冲击材料的本构方程。这意味着不可逆变形不被考虑，因此，块沉入接触平面(材料)不计算。此外，本构方程的缺失阻碍了接触力的计算。因此，在我们的方法中，块体向地表的渗透大大提高了模型能力，对结果产生了重大影响。

　　为了突出块体旋转、接触几何形状和表观恢复系数之间的关系，将接触恢复系数与使用我们的冲击模型(Eq. 6)和Vijayakumar et al.(2012)模型(图13)计算的表观恢复系数值进行比较。以椭球体为例，对不同的初始块体方向和初始转速进行了比较。在没有初始旋转的情况下，所有图(图13a)相对于初始块旋转是对称的。当块体具有初始旋转速度且不对称程度随其强度增加时，这种对称性就会丧失(图13b-d)。在很大的初始块体方向和初始角速度范围内，所提出的模型和Vijayakumar等人(2012)模型的表观恢复系数都变为负值(即，相对于块体质心的冲击后的法向速度是向下的，而接触点的法向速度是直接向上的)。相反，接触恢复系数和能量恢复系数都是正的。实际上，接触系数的计算考虑了接触点的法向速度，由于块体弹跳，法向速度总是正的。即使块体反弹，表观恢复系数也不是这样。事实上，在出口处的块体旋转速度是如此之高，以至于在计算表观系数的质心处导致正常速度的逆转。因此，碰撞后的接触速度是向上的，而质心处的正常速度，由于旋转，是向下的。在没有初始旋转速度的情况下，所有的系数对于与主轴或小轴碰撞的块体都是相同的，因为在这些情况下，块体不产生旋转速度。在球形块的情况下，由于块的旋转不影响质心处的法向速度，表观恢复系数和接触恢复系数重合。

　　图13

　　

　　采用本文提出的模型(Vijayakumar et al.(2012)模型(Eq. 20)计算不同初始块体转速值下的视法线、接触点(即接触恢复系数)和全局恢复(Eq. 18)系数:a无旋转速度;b 500°/ s;C 1500°/s, d 2000°/s

　　Ashayer(2007)在椭球体块的情况下，采用刚体接触力学得到了法向恢复速度、法向恢复系数和恢复角速度。在相同初始条件下，法向恢复系数/法向速度和旋转结果与图8一致。

　　Ashayer(2007)也通过修正的粒子-粒子和粒子-壁接触定律对由一团圆形粒子组成的椭球体块进行了DEM数值模拟。通过增加团块粒子的数量，结果收敛于通过执行刚体模拟获得的结果，从而收敛于我们的结果。这进一步支持了本文提出的模型的功能。

　　Bozzolo和Pamini(1986)提出了椭球体块的刚体模型，通过在接触点施加刚体旋转和角动量守恒来计算碰撞后的平移和旋转速度分量。他们通过讨论三次实际岩石坠落的实验结果来验证该模型。虽然几何形状和参数与作者采用的不同，但其最大弹道高度的块数分布与我们的结果相似(图12)，Azzoni等人(1995)的模拟结果也是如此。

　　最后，参考HyStone代码得到的数值结果，如图11和图12所示，作者对所有影响进行了评估。所有这些值的块数分布如图14所示。块数越高，正常恢复系数在0.75 ~ 1.0(平均值)之间，切向系数在0.7 ~ 1.1(平均值)之间。正如Bourrier等人(2012)在现场试验中已经观察到的那样，由于块体旋转和块体拉长的几何形状，两个系数(块体数量)都遵循正态分布，两个系数都可以达到远高于1的值。

　　图14

　　

　　考虑所有块体形状和所有初始角速度值，双平面边坡HyStone模拟得到的a视法向恢复系数和b视切向恢复系数的块数分布(见图11)

　　现场观测和室内实验结果证明了块体的形状和方向在冲击中心恢复系数的影响，从而得到了块体轨迹的模拟结果。在岩崩模拟代码中，通常不考虑这些信息，这些代码通常采用简化的块体几何形状，并通过随机方法模拟实际情况的观察变化。这项工作部分克服了以前的缺点，因为通过一种先进和灵活的冲击模型来模拟块几何形状和初始块方向的影响，该模型将我们以前的模型扩展到具有不同纵横比的椭球形状块，从而嵌入块偏心。

　　该模型成功再现了在实验室和DEM数值模型中观察到的主要设计变量和恢复系数的变化趋势，强调了块体形状比、初始方向和冲击角的作用。

　　倾斜撞击揭示了类似的趋势，因此可以分享前面的考虑。

　　当块体以最长轴向垂直或倾斜冲击时，随着块体长径比的增大，最大侵彻力增大，最大垂直力减小。对于水平长轴的块，观察到相反的趋势。因此，采用球形设计块进行防护结构设计是不保守的。

　　揭示了初始块体取向对恢复系数和块体旋转的垂直影响的重要性。主要结果是初始块体取向变化不大，但恢复系数变化较大。此外，这项工作证实，块体形状和旋转可以导致负值的表观恢复系数在现场试验中观察到的。我们证明了块体旋转不足以产生负值的恢复系数，但它们是块体旋转和细长几何形状组合的结果:在这些组合中，在接触点向上垂直的速度和在质心向下垂直的速度被观察到。通过对接触恢复系数、两个表观恢复系数和能量恢复系数的比较发现，表观恢复系数的负值随着块体初始旋转而增大，从而影响岩崩模拟。

　　将冲击模型应用到HyStone岩崩仿真程序中，对不同块体形状比、块体角速度和初始块体方位的双平面边坡进行了参数化分析。最大高度和视恢复系数的计算结果与现场观测和数值模拟结果基本一致。HyStone数值模拟使我们得出结论，原位和实验中观察到的变异性可以以确定性的方式预测，直接考虑块体旋转和块体形状，并且只参考初始条件的变异性。这意味着通常在岩崩模拟中通过修改模型参数来模拟的块体几何形状的影响可以通过考虑初始块体条件的可变性直接获得。

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